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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
b) $f(x)=\ln (2-x)$
b) $f(x)=\ln (2-x)$
Respuesta
Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.
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1. Primero hallamos el dominio de la función
La función logarítmica está definida para los valores donde el argumento es mayor que cero, es decir, \(2 - x > 0 \implies x < 2\).
Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es:
$ \text{Dom}(f) = (-\infty, 2) $
2. Calculamos la derivada de la función
$ f'(x) = (\ln (2-x))' $
$ f'(x) = \frac{1}{2-x} \cdot (-1) $
$ f'(x) = -\frac{1}{2-x} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \(f\) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
$\text{Dom}(f')$:
$2-x \neq 0$
$2 \neq x$
$\text{Dom}(f') = \Re - \{2\} $
El $ \text{Dom}(f) \neq \text{Dom}(f') $. Pero si los comparamos vemos que el valor que no pertenece al dominio de la derivada tampoco pertenece al dominio de la función original. Así que no obtuvimos puntos críticos de acá.
Acordate que en el video te expliqué que si el dominio de la derivada excluye valores que sí existe en el dominio de la función, éstos serían PCs. Si tenés dudas sobre eso mirá el video de estudio de funciones.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
$ f'(x) = -\frac{1}{2-x} = 0 $
La fracción \(-\frac{1}{2-x}\) nunca es cero para ningún valor de \(x\) en el dominio, por lo que no hay puntos críticos.
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en el intervalo:
-> Para \( x \) en intervalo \( (-\infty, 2) \): \( f'(x) = -\frac{1}{2-x} \). Como el denominador es siempre positivo en este intervalo, y el numerador es negativo, \( f'(x) < 0 \). Es decir que \(f\) decrece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
No hay puntos críticos, por lo que no hay máximos ni mínimos locales.
Respuesta:
Dominio: \( (-\infty, 2) \)
Intervalos de crecimiento: Ninguno
Intervalos de decrecimiento: \( (-\infty, 2) \)
Mínimos relativos: Ninguno
Máximos relativos: Ninguno
Dominio: \( (-\infty, 2) \)
Intervalos de crecimiento: Ninguno
Intervalos de decrecimiento: \( (-\infty, 2) \)
Mínimos relativos: Ninguno
Máximos relativos: Ninguno
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